최단거리 알고리즘 - 다익스트라 & 플로이드 워셜

1. 최단거리 알고리즘이란?

말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다.

주로 그래프를 이용하여 표현하며 각 지점은 노드, 지점 간 연결선은 간선으로 표현한다.

 

이번 포스트에서는 대표적인 최단거리 알고리즘인 다익스트라 알고리즘과 플로이드 워셜 알고리즘에 대해 소개하겠다.

 

2. 다익스트라 알고리즘

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.

음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작하며, 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택하기 때문에 그리디 알고리즘으로 분류된다.

음의 간선 - 0보다 작은 값을 구하는 간선
음의 간선이 포함되었을 경우에는 벨만 포드 알고리즘을 사용해야 한다.

 

다익스트라 알고리즘의 구현

🍥 각 노드에 대해 현재까지의 최단 거리 정보를 1차원 배열에 저장하고, 배열을 갱신해나간다.

 

1. 출발 노드를 설정한다
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다 (INT_MAX와 같이 큰 값으로 초기화한다)
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다
   • 최단 거리가 같을 경우에는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다
   • 이미 방문한 노드에 대해서는 최단 거리가 결정되어 바뀌지 않는다 → 방문 여부를 최단 거리 비교를 통해 구현할 수 있다
5. 3번과 4번을 반복한다.

 

3번 과정에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 구할 때 힙(Heap) 자료구조를 사용하면 선형 탐색을 할 때보다 시간 복잡도를 줄일 수 있다.

O(V^2) → O(ElogV)
V: 노드의 개수
E: 간선의 개수

 

 

3. 플로이드 워셜 알고리즘

모든 지점에서 다른 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우 사용할 수 있는 알고리즘이다.

 

노드의 개수가 N개일 때 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 하므로 총 시간 복잡도는 O(N^3)이 된다.

모든 노드에 대해 최단 경로를 저장하므로 2차원 배열로 구현해야 하며, DP를 활용하여 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신한다.